高二数学知识点总结

作者:管理员 发布时间:2017-02-07 点击数:583 次 【字体:

一对一辅导一、不等式的性质

  1.两个实数a与b之间的大小关系
  2.不等式的性质
  (4)(乘法单调性)
  3.绝对值不等式的性质
  (2)如果a>0,那么
  (3)|a•b|=|a|•|b|.
  (5)|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.
  (6)|a1+a2+……+an|≤|a1|+|a2|+……+|an|.
  二、不等式的证明
  1.不等式证明的依据
  (2)不等式的性质(略)
  (3)重要不等式:①|a|≥0;a2≥0;(a-b)2≥0(a、b∈R)
  ②a2+b2≥2ab(a、b∈R,当且仅当a=b时取“=”号)
  2.不等式的证明方法
  (1)比较法:要证明a>b(a0(a-b<0),这种证明不等式的方法叫做比较法.
  用比较法证明不等式的步骤是:作差——变形——判断符号.
  (2)综合法:从已知条件出发,依据不等式的性质和已证明过的不等式,推导出所要证明的不等式成立,这种证明不等式的方法叫做综合法.
  (3)分析法:从欲证的不等式出发,逐步分析使这不等式成立的充分条件,直到所需条件已判断为正确时,从而断定原不等式成立,这种证明不等式的方法叫做分析法.
  证明不等式除以上三种基本方法外,还有反证法、数学归纳法等.
  三、解不等式
  1.解不等式问题的分类
  (1)解一元一次不等式.
  (2)解一元二次不等式.
  (3)可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式.
  ①解一元高次不等式;
  ②解分式不等式;
  ③解无理不等式;
  ④解指数不等式;
  ⑤解对数不等式;
  ⑥解带绝对值的不等式;
  ⑦解不等式组.
  2.解不等式时应特别注意下列几点:
  (1)正确应用不等式的基本性质.
  (2)正确应用幂函数、指数函数和对数函数的增、减性.
  (3)注意代数式中未知数的取值范围.
  3.不等式的同解性
  (5)|f(x)|0)
  (6)|f(x)|>g(x)①与f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)(其中g(x)≥0)同解;②与g(x)<0同解.
  (9)当a>1时,af(x)>ag(x)与f(x)>g(x)同解,当0ag(x)与f(x)
  平方关系:
  sin^2α+cos^2α=11+tan^2α=sec^2α1+cot^2α=csc^2α
  积的关系:
  倒数关系:
  tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1
  商的关系:
  sinα/cosα=tanα=secα/cscαcosα/sinα=cotα=cscα/secα
  直角三角形ABC中,
  角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,
  余弦等于角A的邻边比斜边
  正切等于对边比邻边,
  ·[1]三角函数恒等变形公式
  ·两角和与差的三角函数:
  cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
  ·三角和的三角函数:
  sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)
  ·辅助角公式:
  Asinα+Bcosα=(A²+B²)^(1/2)sin(α+t),其中sint=B/(A²+B²)^(1/2)cost=A/(A²+B²)^(1/2)tant=B/AAsinα-Bcosα=(A²+B²)^(1/2)cos(α-t),tant=A/B
  ·倍角公式:
  sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=cos²(α)-sin²(α)=2cos²(α)-1=1-2sin²(α)tan(2α)=2tanα/[1-tan²(α)]
  ·三倍角公式:
  sin(3α)=3sinα-4sin³(α)=4sinα·sin(60+α)sin(60-α)cos(3α)=4cos³(α)-3cosα=4cosα·cos(60+α)cos(60-α)tan(3α)=tana·tan(π/3+a)·tan(π/3-a)
  ·半角公式:
  sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα
  ·降幂公式
  sin²(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos²(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan²(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))
  ·万能公式:
  sinα=2tan(α/2)/[1+tan²(α/2)]cosα=[1-tan²(α/2)]/[1+tan²(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan²(α/2)]
  ·积化和差公式:
  sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]
  cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
  cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]
  sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]
  ·和差化积公式:
  sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
  ·推导公式
  tanα+cotα=2/sin2α
  tanα-cotα=-2cot2α
  1+cos2α=2cos²α
  1-cos2α=2sin²α
  1+sinα=(sinα/2+cosα/2)²
  ·其他:
  sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0
  cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0以及
  sin²(α)+sin²(α-2π/3)+sin²(α+2π/3)=3/2
  tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0
  cosx+cos2x+...+cosnx=[sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx
  证明:
  左边=2sinx(cosx+cos2x+...+cosnx)/2sinx
  =[sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-sin2x+...+sinnx-sin(n-2)x+sin(n+1)x-sin(n-1)x]/2sinx(积化和差)
  =[sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx=右边
  等式得证
  sinx+sin2x+...+sinnx=-[cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx
  证明:
  左边=-2sinx[sinx+sin2x+...+sinnx]/(-2sinx)
  =[cos2x-cos0+cos3x-cosx+...+cosnx-cos(n-2)x+cos(n+1)x-cos(n-1)x]/(-2sinx)
  =-[cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx=右边
  等式得证
  [编辑本段]三角函数的诱导公式
  公式一:
  设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:
  sin(2kπ+α)=sinα
  cos(2kπ+α)=cosα
  tan(2kπ+α)=tanα
  cot(2kπ+α)=cotα
  公式二:
  设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:
  sin(π+α)=-sinα
  cos(π+α)=-cosα
  tan(π+α)=tanα
  cot(π+α)=cotα
  公式三:
  任意角α与-α的三角函数值之间的关系:
  sin(-α)=-sinα
  cos(-α)=cosα
  tan(-α)=-tanα
  cot(-α)=-cotα
  公式四:
  利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:
  sin(π-α)=sinα
  cos(π-α)=-cosα
  tan(π-α)=-tanα
  cot(π-α)=-cotα
  公式五:
  利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系:
  sin(2π-α)=-sinα
  cos(2π-α)=cosα
  tan(2π-α)=-tanα
  cot(2π-α)=-cotα
  公式六:
  π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系:
  sin(π/2+α)=cosα
  cos(π/2+α)=-sinα
  tan(π/2+α)=-cotα
  cot(π/2+α)=-tanα
  sin(π/2-α)=cosα
  cos(π/2-α)=sinα
  tan(π/2-α)=cotα
  cot(π/2-α)=tanα
  sin(3π/2+α)=-cosα
  cos(3π/2+α)=sinα
  tan(3π/2+α)=-cotα
  cot(3π/2+α)=-tanα
  sin(3π/2-α)=-cosα
  cos(3π/2-α)=-sinα
  tan(3π/2-α)=cotα
  cot(3π/2-α)=tanα
  (以上k∈Z)
  对于任意非直角三角形中,如三角形ABC,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
  证明:
  已知(A+B)=(π-C)
  所以tan(A+B)=tan(π-C)
  则(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)
  整理可得
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
  类似地,我们同样也可以求证:当α+β+γ=nπ(n∈Z)时,总有tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ
  设a=(x,y),b=(x',y')。
  1、向量的加法
  向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
  AB+BC=AC。
  a+b=(x+x',y+y')。
  a+0=0+a=a。
  向量加法的运算律:
  交换律:a+b=b+a;
  结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。
  2、向量的减法
  如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0
  AB-AC=CB.即“共同起点,指向被减”
  a=(x,y)b=(x',y')则a-b=(x-x',y-y').
  4、数乘向量
  实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。
  当λ>0时,λa与a同方向;
  当λ<0时,λa与a反方向;
  当λ=0时,λa=0,方向任意。
  当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0。
  注:按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0。
  实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
  当∣λ∣>1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍;
  当∣λ∣<1a="">0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍。
  数与向量的乘法满足下面的运算律
  结合律:(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。
  向量对于数的分配律(第一分配律):(λ+μ)a=λa+μa.
  数对于向量的分配律(第二分配律):λ(a+b)=λa+λb.
  数乘向量的消去律:①如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b。②如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ。
  3、向量的的数量积
  定义:两个非零向量的夹角记为〈a,b〉,且〈a,b〉∈[0,π]。
  定义:两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量,记作a·b。若a、b不共线,则a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉;若a、b共线,则a·b=+-∣a∣∣b∣。
  向量的数量积的坐标表示:a·b=x·x'+y·y'。
  向量的数量积的运算率
  a·b=b·a(交换率);
  (a+b)·c=a·c+b·c(分配率);
  向量的数量积的性质
  a·a=|a|的平方。
  a⊥b〈=〉a·b=0。
  |a·b|≤|a|·|b|。
  向量的数量积与实数运算的主要不同点
  1、向量的数量积不满足结合律,即:(a·b)·c≠a·(b·c);例如:(a·b)^2≠a^2·b^2。
  2、向量的数量积不满足消去律,即:由a·b=a·c(a≠0),推不出b=c。
  3、|a·b|≠|a|·|b|
  4、由|a|=|b|,推不出a=b或a=-b。
  4、向量的向量积
  定义:两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作a×b。若a、b不共线,则a×b的模是:∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a,b〉;a×b的方向是:垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线,则a×b=0。
  向量的向量积性质:
  ∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。
  a×a=0。
  a‖b〈=〉a×b=0。
  向量的向量积运算律
  a×b=-b×a;
  (λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);
  (a+b)×c=a×c+b×c.
  注:向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的。
  向量的三角形不等式
  1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;
  ①当且仅当a、b反向时,左边取等号;
  ②当且仅当a、b同向时,右边取等号。
  2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。
  ①当且仅当a、b同向时,左边取等号;
  ②当且仅当a、b反向时,右边取等号。
  定比分点
  定比分点公式(向量P1P=λ·向量PP2)
  设P1、P2是直线上的两点,P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数λ,使向量P1P=λ·向量PP2,λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。
  若P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),则有
  OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分点向量公式)
  x=(x1+λx2)/(1+λ),
  y=(y1+λy2)/(1+λ)。(定比分点坐标公式)
  我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式
  三点共线定理
  若OC=λOA+μOB,且λ+μ=1,则A、B、C三点共线
  三角形重心判断式
  在△ABC中,若GA+GB+GC=0,则G为△ABC的重心
  [编辑本段]向量共线的重要条件
  若b≠0,则a//b的重要条件是存在唯一实数λ,使a=λb。
  a//b的重要条件是xy'-x'y=0。
  零向量0平行于任何向量。
  [编辑本段]向量垂直的充要条件
  a⊥b的充要条件是a·b=0。
  a⊥b的充要条件是xx'+yy'=0。
  零向量0垂直于任何向量.
  还有注意一点,不要把点写成叉
  圆锥曲线里的弦长公式
  d=根号(1+k^2)|x1-x2|=根号(1+k^2)根号[(x1+x2)^2-4x1x2]=根号[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]
  圆里相交直线所构成的弦长m,与圆的半径r,圆心到直线的距离d的关系为
  (m/2)^2+d^2=r^2
  直线
  A1x+B1y+C1=0
  A2x+B2y+C2=0
  平行的充要条件是A1B2+A2B1=0且B1C2+B2C1不等于0
  点到直线的距离公式
  d=|Ax0+By0+C|/根号(A^2+B^2)
  若平行
  则d=|c2-c1|/根号(A^2+B^2)
  A和B上下两个式子必须相等

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