2010年全国初中数学竞赛试题参考答案

作者:管理员 发布时间:2017-02-20 点击数:151 次 【字体:

一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分.其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)

1.若,则的值为(    ).

(A)        (B)       (C)       (D)

解:    由题设得

代数式变形,同除b

2.若实数a,b满足,则a的取值范围是(     ).

(A)a    (B)a4    (C)a≤或 a≥4   (D)≤a≤4

解.C

因为b是实数,所以关于b的一元二次方程

的判别式   ≥0,解得a≤或 a≥4.

方程思想,判别式定理;要解一元二次不等式

3.如图,在四边形ABCD中,∠B=135°,∠C=120°,AB=,BC=,CD=,则AD边的长为(   ).

(A)          (B)

(C)        (D)

解:D

如图,过点A,D分别作AE,DF垂直于直线BC,垂足分别为E,F.

由已知可得

BE=AE=,CF=,DF=2

于是 EF=4+

过点A作AG⊥DF,垂足为G.在Rt△ADG中,根据勾股定理得

AD

勾股定理、涉及双重二次根式的化简,补全图形法

4.在一列数……中,已知,且当k≥2时,

(取整符号表示不超过实数的最大整数,例如),则等于(    ).

(A) 1          (B) 2           (C) 3            (D) 4

解:B

可得

……

因为2010=4×502+2,所以=2.

高斯函数;找规律。

 

5.如图,在平面直角坐标系xOy中,等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A(1,1),B(2,-1),C(-2,-1),D(-1,1).y轴上一点P(0,2)绕点A旋转180°得点P1,点P1绕点B旋转180°得点P2,点P2绕点C旋转180°得点P3,点P3绕点D旋转180°得点P4,……,重复操作依次得到点P1,P2,…, 则点P2010的坐标是(    ).                  

(A)(2010,2) (B)(2010,

(C)(2012,)  (D)(0,2)

解:B由已知可以得到,点的坐标分别为(2,0),(2,).

,其中

根据对称关系,依次可以求得:

,同样可以求得,点的坐标为(),即),

由于2010=4502+2,所以点的坐标为(2010,).

二、填空题

6.已知a=-1,则2a3+7a2-2a-12 的值等于             .

  解:0

  由已知得 (a+1)2=5,所以a2+2a=4,于是

2a3+7a2-2a-12=2a3+4a2+3a2-2a-12=3a2+6a-12=0.

7.一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶.在某一时刻,客车在前,小轿车在后,货车在客车与小轿车的正中间.过了10分钟,小轿车追上了货车;又过了5分钟,小轿车追上了客车;再过t分钟,货车追上了客车,则t=             .

解:15

设在某一时刻,货车与客车、小轿车的距离均为S千米,小轿车、货车、客车的速度分别为(千米/分),并设货车经x分钟追上客车,由题意得

,               ①

,              ②       .               ③

由①②,得,所以,x=30.       故 (分).

 

 

 

8.如图,在平面直角坐标系xOy中,多边形OABCDE的顶点坐标分别是O(0,0),A(0,6),B(4,6),C(4,4),D(6,4),E(6,0).若直线l经过点M(2,3),且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分,则直线l的函数表达式是              .

 

解:

如图,延长BC交x轴于点F;连接OB,AFCE,DF,且相交于点N.

由已知得点M(2,3)是OB,AF的中点,即点M为矩形ABFO的中心,所以直线把矩形ABFO分成面积相等的两部分.又因为点N(5,2)是矩形CDEF的中心,所以,

过点N(5,2)的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分.

于是,直线即为所求的直线

设直线的函数表达式为,则

解得 ,故所求直线的函数表达式为

 

9.如图,射线AM,BN都垂直于线段AB,点E为AM上一点,过点A作BE的垂线AC分别交BE,BN于点F,C,过点C作AM的垂线CD,垂足为D.若CD=CF,则         . 

解: 

见题图,设

因为Rt△AFB∽Rt△ABC,所以

又因为 FC=DC=AB,所以 即     

解得,或(舍去).

又Rt△∽Rt△,所以,  即=

10.对于i=2,3,…,k,正整数n除以i所得的余数为i-1.若的最小值满足,则正整数的最小值为             .

解:9      因为的倍数,所以的最小值满足

其中表示的最小公倍数.

由于

因此满足的正整数的最小值为

 

三、解答题(共4题,每题20分,共80分)

11.如图,△ABC为等腰三角形,AP是底边BC上的高,点D是线段PC上的一点,BE和CF分别是△ABD和△ACD的外接圆直径,连接EF. 求证:

(第12A题)

 

(第12B题)

 

(第12B题)

 

证明:如图,连接ED,FD. 因为BE和CF都是直径,所以

ED⊥BC,   FD⊥BC,

因此D,E,F三点共线.   …………(5分)

连接AE,AF,则

所以,△ABC∽△AEF.    …………(10分)

作AH⊥EF,垂足为H,则AH=PD. 由△ABC∽△AEF可得

从而                         ,        

所以                         .     …………(20分)

12.如图,抛物线(a0)与双曲线相交于点A,B. 已知点A的坐标为(1,4),点B在第三象限内,且△AOB的面积为3(O为坐标原点).

(1)求实数a,b,k的值;

(2)过抛物线上点A作直线AC∥x轴,交抛物线于另一点C,求所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标.

解:(1)因为点A(1,4)在双曲线上,

所以k=4. 故双曲线的函数表达式为.

设点B(t,),,AB所在直线的函数表达式为,则有

    解得.

于是,直线AB与y轴的交点坐标为,故

,整理得

解得,或t=(舍去).所以点B的坐标为().

因为点A,B都在抛物线(a0)上,所以解得   …………(10分)

(2)如图,因为AC∥x轴,所以C(,4),于是CO=4. 又BO=2,所以.

设抛物线(a0)与x轴负半轴相交于点D, 则点D的坐标为(,0).

因为∠COD=∠BOD=,所以∠COB=.

(i)将△绕点O顺时针旋转,得到△.这时,点(,2)是CO的中点,点的坐标为(4,).

延长到点,使得=,这时点(8,)是符合条件的点.

(ii)作△关于x轴的对称图形△,得到点(1,);延长到点,使得,这时点E2(2,)是符合条件的点.

所以,点的坐标是(8,),或(2,).         …………(20分)

 

 

  13.求满足的所有素数p和正整数m.

.解:由题设得

所以,由于p是素数,故,或.  ……(5分)

    (1)若,令,k是正整数,于是

,从而.

所以解得            …………(10分)

(2)若,令,k是正整数.

时,有

,从而,或2.

    由于是奇数,所以,从而.

    于是

这不可能.

时,;当,无正整数解;当时,,无正整数解.

综上所述,所求素数p=5,正整数m=9.                 …………(20分)

 

14.从1,2,…,2010这2010个正整数中,最多可以取出多少个数,使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除?

 

解:首先,如下61个数:11,,…,(即1991)满足题设条件.                               …………(5分)

    另一方面,设是从1,2,…,2010中取出的满足题设条件的数,对于这n个数中的任意4个数,因为

,  

所以                        .

因此,所取的数中任意两数之差都是33的倍数.        …………(10分)

,i=1,2,3,…,n.

,得

所以,即≥11.                 …………(15分)

≤60. 所以,n≤61.

综上所述,n的最大值为61.                        …………(20分)

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